La nozione di insieme. L’insieme N. Operazioni in N e loro proprietà.
La divisione euclidea. Gli insiemi Z e Q: operazioni in Z e Q e
loro proprietà. La rappresentazione sulla retta degli insiemi
N, Z e Q. Non esiste soluzione in Q dell’equazione x2=2.
Il principio d’induzione. Dimostrazioni per induzione.
Come si individua un insieme: mediante elenco degli elementi,
mediante una proprietà caratteristica, come unione di insiemi dati,
come “insieme delle parti”. L’insieme vuoto. Unione e intersezione.
Prodotto cartesiano.
Relazioni. Funzioni: dominio, immagine, iniettività,
suriettività e questioni connesse; restrizione a un sottoinsieme;
la funzione inversa; composizione di funzioni. Corrispondenze biunivoche.
Relazioni in un insieme e alcune possibili proprietà.
Relazioni d’ordine; minimo, massimo,
estremo inferiore, estremo superiore; completezza.
Relazioni di equivalenza; classi di equivalenza; insieme quoziente.
Operazioni in un insieme e loro possibili proprietà.
Gruppi e anelli. Alcune proprietà degli anelli.
Campi; sottocampi; campi ordinati; isomorfismi tra campi ordinati.
Ogni campo ordinato ha un sottocampo isomorfo a Q.
Altre proprietà dei campi ordinati. In un campo ordinato,
l’equazione x2+1=0 non ha soluzione.
Il campo R dei numeri reali. Numeri reali razionali.
Numeri algebrici e numeri trascendenti. Radice n-sima di un numero reale.
Elevamento a potenza in R.
Con riferimento agli appunti redatti dal docente,
questa parte del programma
corrisponde al contenuto dei capitoli 1-10, omettendo:
le sezioni 1.4 e 1.5; la dimostrazione del teorema 1.8.1; le sezioni 2.1, 2.2, 2.3 e 2.4;
la dimostrazione del teorema 4.7.4;
le dimostrazioni relative agli esempi 5.6.3, 5.6.4 e 5.7.3; la sezione 6.4;
il teorema 8.2.3; le sezioni 8.6 e 8.7; l’esempio 9.4.2; la dimostrazione dei teoremi
9.4.3, 9.4.4, 9.4.5, 9.4.6, 9.4.7, 9.4.8, 10.4.1.
Sistemi di riferimento cartesiani nel piano. Distanza di due punti. Coordinate del punto medio di un segmento. Equazione di un luogo geometrico. Equazioni cartesiane. Equazione cartesiana della retta. Equazione della retta passante per due punti assegnati. Equazione esplicita della retta. Condizioni di ortogonalità e parallelismo fra rette. Cenni sul metodo delle coordinate. Cenni sul problema di Apollonio.
Con riferimento agli appunti redatti dal docente, questa parte del programma corrisponde al contenuto dei capitoli 12 e 13, omettendo la sezione 12.4 e la dimostrazione del teorema 13.2.3.
Sistemi lineari. Matrici associate a un sistema lineare. Procedimento di Gauss per trasformare una matrice in una matrice ridotta equivalente. Rango di una matrice. Teorema di Rouché-Capelli. Risoluzione e discussione dei sistemi lineari, anche dipendenti da un parametro.
Con riferimento agli appunti redatti dal docente, questa parte del programma corrisponde al contenuto del capitolo 14.
Le “funzioni elementari” da R in R. Funzioni pari, funzioni dispari,
funzioni periodiche. Grafico di una funzione da R in R.
La funzione “valore assoluto” e osservazioni relative. Intorni.
Punti di accumulazione.
Continuità. Le funzioni elementari sono continue.
La somma, il prodotto, il quoziente, la composizione di funzioni continue
sono funzioni continue. Teorema della permanenza del segno. Teorema di Bolzano.
Teorema di Weierstrass.
Prolungamento per continuità: problema dell’esistenza
e dell’unicità. La nozione di “limite”. Alcuni limiti “notevoli”.
Limite destro. Limite sinistro. Limiti e operazioni tra funzioni.
Limiti infiniti. L’insieme dei numeri reali esteso.
Limite per x che tende a “più infinito”.
Limite per x che tende a “meno infinito”. Tecniche di calcolo di limiti.
Teorema del “cambiamento di variabile”.
Il numero e ed alcuni limiti notevoli ad esso collegati.
Rapporto incrementale e suo significato geometrico.
Derivata e sua interpretazione geometrica. Derivabilità.
Derivabilità e continuità.
Compatibilità tra derivazione e operazioni: derivata della somma,
del prodotto, del quoziente e della composizione.
Derivata delle funzioni elementari. Le regole di De L’Hôpital
per il calcolo dei limiti.
Funzioni crescenti. Funzioni decrescenti. Estremi locali.
Il teorema di Fermat. Ricerca dei punti estremanti.
Convessità e concavità. Asintoti. Studio di una funzione.
Primitive: problema dell’esistenza e dell’unicità.
Regole di calcolo: primitive di una somma e di un prodotto per un
numero reale. Ricerca per parti. Ricerca per sostituzione.
La nozione di integrale per una funzione limitata definita in un intervallo
limitato.
Proprietà dell’integrale: linearità, additività rispetto
agli intervalli. Il teorema fondamentale del calcolo integrale.
Applicazioni al calcolo degli integrali.
Calcolo di aree mediante gli integrali.
Generalizzazione della nozione di integrale: integrazione su un intervallo illimitato,
integrazione di una funzione continua non limitata su un intervallo aperto.
Equazioni differenziali ordinarie: il caso lineare (omogeneo e affine) e il caso “a
variabili separabili”.
Con riferimento agli appunti redatti dal docente, questa parte del programma corrisponde al contenuto dei capitoli 15-26, omettendo: la dimostrazione dei teoremi 15.2.1, 15.2.3, 15.6.13, 15.6.14, 16.1.6, 16.3.1 e 16.5.5; la dimostrazione relativa agli esempi 18.2.11 e 18.2.16; la sezione 18.8; la dimostrazione dei teoremi 19.2.3 e 19.2.5; l’osservazione 19.3.10 e il teorema 19.3.11; il teorema 21.4.4; la sezione 24.6; l’esempio 26.1.1.
Statistica descrittiva: popolazioni e variabili statistiche; media, mediana e moda; percentili;
varianza e scarto quadratico medio. Covarianza di due variabili statistiche; coefficiente di
correlazione; retta di regressione lineare. Cenni su altri tipi di correlazione; la parabola di
regressione quadratica.
Calcolo delle probabilità. Spazio dei risultati. Misura di probabilità. Caso in cui gli eventi
elementari sono tutti equiprobabili. Probabilità condizionata; il teorema di Bayes. Variabili aleatorie.
Statistica inferenziale: il “teorema centrale del limite” (senza dimostrazione);
campioni; test di ipotesi: il test Z, il test “di Student”.
Parte del programma di Statistica è coperta dalla bozza di appunti redatta dal docente; per il resto si può utilmente consultare il quaderno didattico redatto dalla prof.ssa Maria Garetto dell’università di Torino.